"Quel est le nombre qui au cube est égal à quinze fois lui-même plus quatre ? ".

 

 

                                       Ce problème s’écrit sous la forme :              x³  =  154                                   Equation (1)  

  

Si on pose x = u + v  on aura alors :     

 

= (u+v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³ 

 

u³ + 3u²v + 3uv² + v³ 

 

3u²v + 3uv² + u³  + v³ 

 

x³ = (3uv) (u + v) + u³  +  v³ 

 

donc                     u³  +  v³  =   4                      u³  +  v³  4                                    u³  +  v³  4

                                                                    3uv  =  15                             uv   =   5                                        u³ v³   =  125

  et sont solutions de l'équation :  4T + 125 = 0

         ici               = 16 – 4(125) = 16 – 500 = – 484

                                             =   ==  22 =  22 i

 

On arrive à u³ = 2 + 11i   et  v³ = 2 – 11i 

 

 Extrayons maintenant la racine cubique de u3 pour avoir u .

 

                         On connaît   = 2 + 11i

                                    On pose u = a+bi       tel que u = 3

 

                             u3 = (a+bi)3 = a3 3ab² + (3a²b b3)i

 

  Par association on a :

 

                                      2 = a3   3ab²  

                                    11 = 3a²b b3  

 

 Il faut trouver les réels a et b qui vérifient les 2 égalités suivantes :

 

Cherchons a et b par tâtonnement. Prenons 2 pour a :

 

                                   2 = a3 – 3ab²

 

                                   2 = 8 – 6b²

 

                                 6 = 6b²

 

                                    1 = b²

 

                                   1 = b

 

                       Pour a = + 2 on aurait b = + 1

 

donc 3      2 + 22i =  2 + i =  u

Vérifions la 2° égalité en utilisant a = +2 et b = +1

            3a²b b3c = 3 (2)²(+1) (+1)3

               = 12 1

                           = 11         OK !

Finalement :

 u = 3  = 2 + i

 v = 3 = 2 i

x1 = u + v = 2 + i + 2 i = + 4

L’équation (1) peut s’écrire dans sa forme canonique :

                                             (x – 4)(ax2 + bx + c) = 0                                                       Equation (2)

 En développant, on arrive à :

                                             ax3 + bx² + cx 4a 4bx 4c = 0

                                            ax3 + (b – 4a)x² + (c - 4b)x 4c = 0

                                 Donc par similitude avec   15x 4 = 0    on a :

 

                                        a = 1                                      a = 1                                                    a = 1

                                 b – 4a = 0                                b = 4a                                              b = 4

                                 c – 4b = 15                             c = 15 + 4b                                  c = –15 + 16 = 1

Donc l'équation   (x 4)(ax2 + bx + c) = 0  peut aussi s’écrire :

 (x 4)(x2 + 4x + 1) = 0

Les 2 autres solutions sont les solutions de x2 + 4x + 1 = 0

dont le discriminant est    = 16 4(1) = 16 4 = 12

Soit x2 = – 2 +

          x3 = – 2  –